非线性随机动力学的若干数值方法及应用-17

内容简介

《非线性随机动力学的若干数值方法及应用》详细介绍胞映射方法、路径积分方法、自由网格路径积分和算子分裂方法及它们的应用，以及正交多项式逼近方法及其在随机结构动力学中的应用等四部分内容。结合作者的研究，主要介绍几种常见的胞映射方法、动力系统的迭代图胞映射方法、随机动力系统全局分岔行为的研究、基于Gauss-Legendre 公式的路径积分法、随机参激与外激联合作用下非线性动力学系统的路径积分解、谐和激励与随机激励作用下Duffing-Rayleigh 振子的路径积分解、基于概率密度的Mathieu-Duffing 振子的混沌分析、自由网格路径积分法、算子分裂法、正交多项式逼近及其应用。本书的特点是以介绍数值方法、逼近方法为主线，以介绍胞映射方法和路径积分方法为重点，突出随机分析和应用分析。

目录

第一篇胞映射方法
第1 章胞映射方法简介....................................................... 3
1.1 引言....................................................................3
1.2 胞映射方法的发展及概况.............................................. 4
1.3 基础知识以及相关文献............................................... 10
1.3.1 分岔基础知识以及相关文献........................................ 10
1.3.2 图论基础知识以及相关文献........................................ 11
第2 章几种胞映射方法的简单介绍.......................................... 12
2.1 简单胞映射方法.......................................................12
2.1.1 胞状态空间....................................................... 12
2.1.2 基本概念......................................................... 13
2.1.3 算法实现......................................................... 14
2.1.4 算例分析......................................................... 15
2.2 广义胞映射........................................................... 16
2.2.1 基本概念......................................................... 17
2.2.2 算法过程......................................................... 18
2.2.3 算例分析......................................................... 19
2.3 基于偏序集和有向图的广义胞映射....................................20
2.3.1 基本概念......................................................... 20
2.3.2 广义胞映射和有向图............................................... 21
2.3.3 算法实现......................................................... 21
2.3.4 算例分析......................................................... 22
2.4 插值胞映射方法.......................................................23
第3 章动力系统的迭代图胞映射方法........................................ 25
3.1 引言...................................................................25
3.2图胞映射的一种改进方法——逼近动力系统稳定与不稳定流形......25
3.2.1 相关概念的引入................................................... 25
3.2.2 驻足和路由的算法................................................. 28
3.2.3 计算实例......................................................... 29
3.3 迭代图胞映射方法.................................................... 31
3.3.1 基本胞化空间方法................................................. 32
3.3.2 复合胞化空间方法................................................. 33
3.3.3 算例分析......................................................... 35
3.3.4 基于复合胞化空间的迭代图胞映射法................................ 37
3.3.5 典型算例......................................................... 38
第4 章随机动力系统分岔行为的研究........................................ 42
4.1 引言...................................................................42
4.2 随机系统的分岔.......................................................42
4.3 Du.ng 方程的随机分岔............

摘要与插图

第1 章胞映射方法简介
1.1 引言
继牛顿力学和量子力学之后发展的非线性科学,正改变着人们对世界的看法,使之形成一种新的自然观,促进了一大类新兴科学的孕育和发展,并从根本上影响着现代科学的逻辑体系.非线性科学是一门跨学科的综合性基础学科,旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律,以达到认识和利用规律的目的.非线性系统的动力学特性分析[1-7]可分为局部分析和全局分析.局部分析通常关注的是周期解和解的稳定性以及参数变化对解的影响;全局分析主要关注各个吸引子及其吸引域的空间位置,不稳定解的稳定与不稳定流形,以及参数变化对相空间全局结构的影响.由于全局分析能够使人们获得非线性系统的更多信息,因此对系统进行全局分析是一项重要的工作.
非线性系统的全局分析方法可以分为解析方法和数值方法.解析方法中较为的是Melnikov方法[1,8,9],该方法通过度量系统稳定流形与不稳定流形之间的距离,并经过一阶近似简化后成为Melnikov函数,然后判断它是否存在简单零点.如果存在则表明系统的稳定流形和不稳定流形横截相交而形成Smale马蹄[10],从而导致混沌的出现.由于适用于该方法的系统需要满足一定的条件,如未受扰动的平面可积系统存在双曲鞍点和连接鞍点的同宿轨道或异宿环,所以,它只适用于部分非线性系统.此外,由于非线性问题的“个性”很强,目前尚没有统一的求解方法,因此在对系统进行全局分析的研究工具中,数值方法一直占有重要的地位,它是人们进行全局分析的有效选择,是工程和科学领域中许多学者的研究内容和主题.
利用数值方法研究动力系统的全局特性,人们先想到的可能是直接数值模拟法[11].例如,若要确定相空间中系统的吸引子,可以从某一初始点出发进行数值积分,在充分长时间后系统的运动行为就确定了吸引子的位置,而所有可以到达该吸引子的初始点的集合就构成了该吸引子的吸引域.尽管这种方法直观明了,但是实施却要耗费很长的时间,是当系统存在多个吸引子及其吸引域时,为了不漏掉每个吸引子,需要在相空间内选取大量的初始点,当每个初始点出发的轨线演化充分长时间后再来确定吸引子的位置和个数,然后对所有初始点进行分类确定出吸引域.显然,通过直接数值模拟法对系统进行全局分析需要更长的时间,