微分方程+2

内容简介

《微分方程》是在云南财经大学多次使用的微分方程讲义的基础上整理而成的。《微分方程》内容括微分方程模型，常微分方程的基本概念，初等积分法，一阶常微分方程组，高阶线常微分方程，偏微分方程的概念，线偏微分方程的Adomian分解法，特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法，布莱克-斯科尔斯方程，线偏微分方程的Adomian分解法，变分迭代法简介等。

目录

目录
前言
第0章 微分方程模型 pan>
0.1 经济学中的微分方程 pan>
0.1.1 多马增长模型 pan>
0.1.2 微观动态市场模型 3
0.1.3 具有价格预期的市场模型 4
0.1.4 通货膨胀与失业相互作用模型 5
0.1.5 国民经济增长模型 7
0.1.6 广告模型 9
0.2 人口与生态学中的微分方程 1pan>
0.2.1 人口模型——单一群体模型 1pan>
0.2.2 两种群相互作用模型 17
0.3 军事科学中的微分方程 22
0.4 日常生活中的微分方程 27
0.4.1 的数学模型 27
0.4.2 汤冷却的数学模型 29
0.4.3 宣传运动的效果 30
0.4.4 跳伞运动员为什么能着地 32
0.5 数学物理中的经典微分方程 33
0.5.1 波动方程 33
0.5.2 热传导方程 35
0.5.3 拉普拉斯方程和泊松方程 36
0.6 期权的布莱克-斯科尔斯方程 37
0.6.1 股票与期权 37
0.6.2 伊藤微分法则 38
0.6.3 投资组合的套利原则 39
0.6.4 用偏微分方程分析期权定价理论 4pan>
0.7 交通流的数学模型 4pan>
0.8 速降线问题与追线问题 44
0.8.1 速降线问题 44
0.8.2 追线问题 47
0.9 医学科学中的微分方程 50
0.9.1 传染病模型 50
0.9.2 物在体内的分布 54
章 常微分方程的基本概念 58
第2章 初等积分法 66
2.1 可分离变量方程 66
2.1.1 可分离变量方程及其解法 66
2.1.2 类可化成可分离变量的方程：齐次方程 72
2.1.3 类可化成可分离变量的方程 74
2.2 一阶线方程 78
2.2.1 一阶线方程及其解法 78
2.2.2 伯努利方程 84
2.2.3 里卡蒂方程 86
2.3 全微分方程积分因子 88
2.3.1 全微分方程 88
2.3.2 积分因子 92
2.4 一阶隐式方程 99
2.5 某些可降阶的方程 7
2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程 7
2.5.2 y=f（x，y）型微分方程 7
2.5.3 y=f（y，y）型微分方程 9
2.5.4 恰当导数方程 9
2.6 初值问题解的存在定理、奇解、络 113
2.6.1 解的存在定理 113
2.6.2 奇解 115
2.6.3 络 118
第3章 一阶常微分方程组 122
3.1 初等积分法 积分 122
3.2 向量函数与矩阵函数， 解的存在定理 136
3.3 一阶齐次线方程组的一般理论 14pan>
3.4 一阶齐次线方程组的一般理论 148
3.4.1 通解结构 148
3.4.2 常数变易法 149
3.5 常系数齐次线常微分方程组的解法 153
3.6 常微分方程（组）稳定理论简介 167
3.6.1 一维动力系统衡点及稳定 168
3.6.2 二维动力系统衡点及稳定 169
第4章 高阶线常微分方程 177
4.1 阶线常微分方程的一般理论 177
4.1.1 阶线常微分方程的概念 177
4.1.2 阶齐次线常微分方程的一般理论 179
4.1.3 阶齐次线常微分方程的一般理论 182
4.2 阶常系数齐次线方程的解法 185
4.3 阶常系数齐次线方程的解法 19pan>
4.3.1 类型自由项 f（x）= Pm（x)eax 19pan>
4.3.2 类型自由项 f（x） 198
4.4 可化成常系数的常微分方程 202
4.4.1 欧拉方程 202
4.4.2 通过变量变换可化成常系数线方程的方程 204
第5章 偏微分方程的概念 208
5.1 基本概念和定义 208
5.1.1 偏微分方程的基本概念 208
5.1.2 数学问题 21pan>
5.1.3 线偏微分算子 213
5.2 二阶两个自变量的半线偏微分方程的分类 215
5.2.1 二阶两个自变量的半线偏微分方程的分类与标准形 215
5.2.2 二阶线偏微分方程的通解 222
第6章 线偏微分方程的Adomian分解法 224
6.1 Adomian分解法概述 224
6.1.1 标准Adomian分解法 224
6.1.2 Adomian分解法的消除噪声项 227
6.1.3 修正的Adomian分解法 228
6.2 波动方程 232
6.2.1 一维波动方程 232
6.2.2 高维波动方程 236
6.3 热传导方程 24pan>
6.3.1 一维热传导方程 24pan>
6.3.2 高维热传导方程 243
6.4 拉普拉斯方程 247
第7章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法 256
7.1 特征线法 256
7.1.1 一阶（拟）线偏微分方程的通解 256
7.1.2 一阶（拟）线偏微分方程的初值问题 262
7.2 达朗贝尔公式 反射法 271
7.2.1 达朗贝尔公式：界弦的自由振动规律 271
7.2.2 反射法：半限长弦的自由振动规律 272
7.2.3 齐次化原理：界弦的受迫振动规律 273
7.2.4 高维波动方程 275
7.3 分离变量法简介 277
7.3.1 有界弦的波动方程277
7.3.2 有界杆的热传导方程 282
7.3.3 有界区域上的拉普拉斯方程 284
第8章 布莱克-斯科尔斯方程 289
8.1 傅里叶变换 289
8.1.1 傅里叶变换与逆变换 289
8.1.2 傅里叶变换法解偏微分方程 292
8.2 布莱克-斯科尔斯方程的解 294
第9章 线偏微分方程的Adomian分解法 298
9.1 线项的Adomian多项式分解 298
9.2 用Adomian分解法解线偏微分方程 301
9.3 数学物理中的几个偏微分方程 308
9.3.1 克莱因-戈登方程 308
9.3.2 伯格斯方程 313
9.3.3 电报方程 315
9.3.4 KDV方程 317
9.4 线常微分方程的Adomian分解法 319
第章 变分迭代法简介 325
参考文献 341
部分考答案 343

摘要与插图

　《微分方程》：
　　第0章 微分方程模型
　　微积分产生的一个内在动因来自于人们对自然界运动规律的探索需求，而自然界运动规律通过实验观测来认识清楚是不可能的，但源自古希腊的理精神认为自然界运动是服从的客观规律的，而且这种规律可用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律一目了然了。
　　物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、弦振动规律、电磁波（声波）的传播、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化、期权定价等，对这些规律的描述、认识和分析归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究。
　　那么，什么是微分方程呢？所谓微分方程是由自变量、未知函数以及未知函数的导数（偏导数）组成的方程。如果方程中的自变量的个数只有一个，即未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；如果自变量的个数为两个或两个以上，即未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
　　微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且也越来越多地应用于社会科学的各个领域。，我们分节逐步阐述之。
　　0.1 经济学中的微分方程
　　微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题。一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应经济量的意义或规律，后作出预测或决策。介绍微分方程在经济学中的几个简单应用。
　　0.1.1 多马增长模型
　　在各种经济增长模型中，早的是由英国经济学家哈罗德（R. F. Harrod）和美国经济学家多马（E. Domar）分别建立的哈罗德经济增长模型和多马经济增长模型。这里我们仅讨论多马增长模型。多马增长模型的假设是：
　　（1）年投资（流量）比率I（t）的任意变化会产生双重效果：它将影需求及该经济体的生产能力。