内容简介
本书是编者充分考虑了理工类专业对线性代数课程的需求，并结合自身多年教学经验编写而成的。内容包括：矩阵、可逆矩阵及矩阵的秩、线性方程组与向量组的线性相关性、特征值与特征向量、线性空间与线性变换、二次型。本书内容精炼、讲解详实、例题丰富、通俗易懂。
本书可供综合性大学及师范院校理工类非数学各专业学生学习使用，也可作为相关专业学生及科技工作者的参考用书。
目录
序
前言
第1章 矩阵
1.1 矩阵的概念
1.2 矩阵的运算
1.3 几种特殊矩阵
1.4 分块矩阵
1.5 方阵的行列式
习题一
第1章自检题(A)
第1章自检题(B)
第2章 可逆矩阵及矩阵的秩
2.1 矩阵的初等变换
2.2 可逆矩阵的概念与性质
2.3 方阵可逆的充要条件与逆矩阵的计算
序
前言
第1章 矩阵
1.1 矩阵的概念
1.2 矩阵的运算
1.3 几种特殊矩阵
1.4 分块矩阵
1.5 方阵的行列式
习题一
第1章自检题(A)
第1章自检题(B)
第2章 可逆矩阵及矩阵的秩
2.1 矩阵的初等变换
2.2 可逆矩阵的概念与性质
2.3 方阵可逆的充要条件与逆矩阵的计算
2.4 矩阵的秩
习题二
第2章自检题(A)
第2章自检题(B)
第3章 线性方程组与向量组的线性相关性
3.1 线性方程组的概念与克拉默法则
3.2 矩阵消元法与线性方程解的判别定理
3.3 n维向量及其线性运算
3.4 向量组的线性相关性
3.5 向量组的秩 矩阵的行秩和列秩
3.6 线性方程组解的结构
习题三
第3章自检题(A)
第3章自检题(B)
第4章 特征值与特征向量
4.1 方阵的特征值与特征向量
4.2 相似矩阵与方阵的对角化
4.3 正交矩阵
4.4 实对称矩阵的对角化
习题四
第4章自检题(A)
第4章自检题(B)
第5章 线性空间与线性变换
5.1 线性空间及其子空间
5.2 基、维数与坐标
5.3 基变换与坐标变换
5.4 线性变换与其对应的矩阵
习题五
第5章自检题(A)
第5章自检题(B)
第6章 二次型
6.1 二次型与线性变换
6.2 二次型的标准形
6.3 二次型的规范形与惯性定理
6.4 正定二次型
习题六
第6章自检题(A)
第6章自检题(B)
习题参考答案
第1章习题答案
第2章习题答案
第3章习题答案
第4章习题答案
第5章习题答案
第6章习题答案
参考文献
摘要与插图
第1章 矩阵矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个重要数学概念，是代数学研究的主要对象，是数学很多分支研究及应用的重要工具．它贯穿于线性代数的各个部分，是代数学中必不可少的基本概念，它在数学的其他分支以及相关专业的理论及实践中有着重要的应用．
本章主要介绍矩阵的概念、性质、运算及其方阵的行列式的概念和相关的性质与计算．
1.1 矩阵的概念
在日常生活中，我们经常使用一系列的表格来记录和传递信息．例如，一家工厂同时生产a1，a2，a3三种产品，在某年的生产量就可用下面一个简单的矩形数表表示：
a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
其中aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3，4）为该工厂的ai产品在第j季度的产量．
反之，若对如上的一个矩形数表的行和列赋予一定的现实意义，该数表就可用来反映相应的一些实际问题；将上述矩形数表单独抽象出来，就得到下面矩阵的概念．
定义1.1 由m×n个数aij（i＝1，.，m；j＝1，2，.n）（通常称其为元素）排列成如下m行n列的数表a11a12.a1n
a21a22.a2n
.. .
am1am2.amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，简记为（aij）m×n，其中aij表示矩阵的第i行第j列的元素．矩阵通常用大写英文字母A，B，C，.表示；m行n列矩阵A可记为Am×n．显然，矩阵Am×n共有mn个元素．元素都为实（复）数的矩阵称为实（复）矩阵．元素全为0的矩阵称为零矩阵，记为Om×n，有时简记为O．只有1行元素的矩阵A1×n＝（a11，a12，.，a1n）称为行矩阵（或行向量）；只有1列元素的矩阵
a11
Am ×1 ＝ .
am1
称为列矩阵（或列向量）．
行数和列数都是n的矩阵An×n称为n阶矩阵或n阶方阵．在n阶方阵An×n中元素a11，a22，.，ann所在的直线称为方阵An×n的主对角线．特别地，n＝1时，对应的1阶方阵记为（a11）．
主对角线元素都是1，其他元素都是0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，记作En
或E，即10.001.0
En ＝
.. . 00.1
行数和列数相同的两个矩阵Am×n与Bm×n称为同型矩阵．如果两个同型矩阵A＝（aij）m×n与B＝（bij）m×n所有m×n个对应位置上的元素都相同，即aij＝bij （i＝1，.，m；j＝1，2，.，n）则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B．
例1.1 设矩阵A＝1+ x 0 与B＝3 y 相等，计算A，B．
2323解 由A＝B得x+1＝3，y＝0从而x＝2，y＝0．于是30
A ＝ B＝
23
习 题 1.1
1.设矩阵A＝x 0+ y 2 x 0-y 与E2相等，计算x，y．
2.设矩阵A＝1+ 2 x xy ++ 3 y 与B＝23 6 z 相等，求A．
1.2 矩阵的运算
1.2.1 矩阵的加（减）法 定义1.2 设两个同型矩阵
a11a12.a1na21a22.a2n
A＝（aij）m×n＝.. .
am1am2.amn
则矩阵
， B＝（bij）m×n＝
a11+b11 a12+b12 .
C＝（aij+bij）m×n＝ a21+b21. a22+b22. .
am1+bm1 am2+bm2 .
称为矩阵A与矩阵B的和，记作C＝A+B．
b11b12.b1nb21b22.b2n
.. .
bm1bm2.bmn
a1 n + b1 n
a2 n + b2 n
.
amn+bmn
注 由定义1．2知，只有同型矩阵才能进行加法运算．设矩阵A＝（aij）m×n，则矩阵（-aij）m×n称为矩阵A的负矩阵，记作-A．利用负矩阵可定义矩阵的减法为
A-B＝A+（-B）容易验证矩阵的加（减）法满足下列性质：设A，B，C为同型矩阵，O是与A同型的零矩阵，则
（1）（A+B）+C＝A+（B+C）；
（2） A + B＝ B+ A ；
（3） A + O＝ O+ A ；
（4）A+（-A）＝O．
1.2.2 矩阵的数量乘法
定义1.3 设矩阵A＝（aij）m×n，k为任意常数，则矩阵（kaij）m×n称为常数k与矩阵A的数量乘法（简称为数乘），记作kA，即
ka11ka12.ka1n
ka21ka22.ka2n
kA＝（kaij）m×n＝.. .
kam1kam2.kamn
容易验证矩阵的数乘满足下列性质：设k，l为任意实数，A，B为同型矩阵，则
（1）（k+l）A＝kA+lA；
（2）k（A+B）＝kA+kB；
（3）k（lA）＝（kl）A；
（4）1?A＝A，（-1）?A＝-A．
例1.2 求矩阵X，使得2X+A＝3B，其中2163
A＝4 0 ， B＝42
解 根据矩阵加（减）法及数乘法的运算律，由2X+A＝3B得2X＝3B-A，从而
X ＝ 1（3B-A）
2 63 21
故 X ＝ 12
3
42 40
18 9 21
116 8 841
＝
-
＝＝
2
12 6 40
286 43
1.2.3 矩阵的乘法
在讨论二次曲线时，如果先进行坐标变换
x ＝ a11 x′+a12 y′，该变换可看作由y＝a21x′+a22y′
矩阵A ＝ a11 a12 决定；然后再进行坐标变换
x′＝b11 x″+b12 y″，该变换可看作a21a22
y′＝b21x″+b22y″
b11b12由矩阵B＝b21 b22 决定；那么这两次变换累积而成的变换为
x＝（a11b11+a12b21）x″+（a11b12+a12b22）y″
y＝（a21b11+a22b21）x″+（a21b12+a22b22）y″
观察到两次累积的坐标变换可看做由矩阵C＝c11 c12 决定，其中cij＝ai1b1j+c21c22
ai2b2j（i，j＝1，2），它是由矩阵A，B中的元素按照某一运算关系所确定．我们把这
种运算关系推广到一般情形，就得到了矩阵的乘法：定义1.4 设m×l矩阵A和l×n矩阵B如下：
a11a12.a1la21a22.a2l
A＝（aik）m×l＝.. .
am1am2.aml
若记
， B＝（bkj）l×n＝
b11b12.b1nb21b22.b2n
.. .
bl1bl2.bln
cij＝k∑＝l1 aikbkj＝ai1b1j+ai2b2j+.+ailblj （i＝1，2，.，m；j＝1，2，.，n）
则矩阵
c11c12.c1n
C＝（cij）m×n＝c21c22.c2n.. .
cm1cm2.cmn称为矩阵A与矩阵B的乘积．记作C＝AB．
注 由矩阵乘积的定义可见，只有A的列数等于B的行数时，乘积AB才有意义．
利用矩阵及其运算可以简洁地表示一些数学表达式．
x＝a11x′+a12y′例如，前面的坐标变换
y ＝a21x′+a22y′可以写成矩阵的乘积形式：
xx′a11a12y ＝ A y′ ， 其中A＝a21 a22
x′＝b11x″+b12y″同样，坐标变换
y′＝ b21 x″+b22 y″可以写成
x′x″b11b12y′＝ B y″ ， 其中B＝b21 b22
这两次累积的坐标变换
x＝（a11b11+a12b21）x″+（a11b12+a12b22）y″y＝（a21b11+a22b21）x″+（a21b12+a22b22）y″
则可以写成
xx″
y ＝ C y″ ， 其中C＝AB
又如，对于线性方程组a11x1+a12x2+.+a1nxn＝b1a21x1+a22x2+.+a2nxn＝b2
..am1x1+am2x2+.+amnxn＝bm
若记
a11a12.a1nx1b1a21a22.a2nA＝（aij）m×n＝.. .， X ＝ x. n ， B＝b. m
am1am2.amn
?6? 线性代数（理工类）
则此线性方程组可简写成
AX ＝ B
例1.3 设A＝ 0 0 1 0 ，B＝ 0 0 2 0 ．求AB和BA．
0×0+1×00×2+1×000
解 AB＝0×0+0×00×2+0×0＝ 0 0
0×0+2×00×1+2×000
BA＝ ＝
0×0+0×00×1+0×000
11101
例1.4 设A＝2 10，B＝-11．求AB和BA．20
1×1+0×（-1）+1×21×1+0×1+1×031
解 AB＝2×1+1×（-1）+0×22×1+1×1+0×0＝ 1 3
1×1+1×21×0+1×11×1+1×0311BA＝（-1）×1+1×2（-1）×0+1×1（-1）×1+1×0＝11-12×1+0×22×0+0×12×1+0×0202
b1
例1.5 设A＝a1，a2，.，an，B＝b2．求AB和BA．
.
bn
解 AB＝（a1b1+a2b2+.+anbn）
a1b1a2b1.anb1
a1b2a2b2.anb2
BA＝
.. .
a1bna2bn.anbn
由以上三个例子可以看出，矩阵乘法的一些特殊性：
（i）矩阵AB＝O，但A与B都可以不为O，即由AB＝O不能推出A＝O或B＝O．由此可得：乘法的“消去律”不成立，即若A≠O，由AB＝AC不能推出B＝C．
（ii）矩阵的乘法运算不满足交换律，即AB≠BA．特殊地，若矩阵A，B满足等式AB＝BA，则称矩阵A与B是可交换的．容易验证，矩阵的乘法满足下列性质（设A，B，C为矩阵；λ为数）：
（1）（AB）C＝A（BC）；
（2）A（B+C）＝AB+AC，（A+B）C＝AC+BC；
（3）λ（AB）＝（λA）B＝A（λB）；
（4） Am × n En ＝ Em Am × n ＝ A ；
