内容简介
《连续时间金融模型的非参数统计分析》系统介绍了连续时间金融模型的非参数统计推断方法及其应用,主要包括一维扩散模型、时变扩散模型、多维扩散模型及随机波动率模型的非参数估计与模型设定检验问题的研究,并简要介绍了这些统计方法在投资目标设计与管理、动态金融风险度量以及期权定价等金融问题中的应用.
目录
第1章绪论
1.1投资目标设计与管理
1.2动态金融风险度量
1.3期权定价问题
1.4本书概要
参考文献
第2章一些常用的非参数估计方法简介
2.1核估计法
2.1.1密度函数的核估计
2.1.2回归函数的核估计
2.1.3密度及其泛函的导数的估计
2.1.4带宽的选择
2.1.5分位数的核估计
2.2局部多项式估计法
2.2.1回归函数的局部多项式估计
2.2.2局部多项式密度估计
2.3小波估计法
2.3.1正交序列法
2.3.2Besov空间与小波
2.3.3回归函数与密度函数的小波估计
2.4多元回归函数的非参数估计
2.5基于Copula函数的非参数密度估计及模型检验
2.5.1Copula函数的定义及性质
2.5.2基于Copula函数的非参数密度估计
参考文献
第3章几个典型连续时间金融模型的统计推断
3.1几个典型的连续时间金融模型及其参数估计
3.1.1几何Brown运动(GBM)
3.1.2Vasicek模型
3.1.3Cox-Ingersoll-Ross模型
3.1.4方差常弹性模型
3.2几个典型的连续时间模型样本轨道的模拟
3.2.1几何Brown运动
3.2.2Vasicek模型
3.2.3Cox-Ingersoll-Ross模型
3.2.4CEV模型
3.3连续时间金融模型设定检验
3.3.1广义残差拟合优度检验
3.3.2几种检验法有限样本性质的比较分析
3.3.3实证分析——上证指数和个股价格的模型设定检验
参考文献
第4章一维扩散模型非参数统计分析
4.1扩散系数的非参数估计
4.1.1扩散系数的非参数估计模型
4.1.2扩散系数的核估计
4.1.3扩散系数的局部多项式估计
4.1.4扩散系数的小波估计
4.2漂移系数的非参数估计
4.2.1漂移系数的非参数估计模型
4.2.2漂移系数的核估计
4.2.3漂移系数的局部多项式估计
4.2.4漂移系数的小波估计
4.3风险中性密度(SPD)的非参数估计
4.3.1基于标的资产价格的非参数估计
4.3.2基于期权价格的非参数估计
4.3.3估计量的改进
4.4一维扩散模型下期权的非参数定价
4.4.1欧式期权的非参数定价
4.4.2风险中性测度下标的资产价格的模拟
4.4.3美式期权的非参数定价
附录
参考文献
第5章时变扩散模型非参数统计分析
5.1时变扩散系数的非参数估计
5.1.1时变扩散系数的非参数估计模型
5.1.2时变扩散系数的核估计
5.1.3时变扩散系数的局部多项式估计
5.1.4时变扩散系数的小波估计
5.2时变扩散模型设定检验
5.2.1设定模型的广义残差拟合优度检验
5.2.2时变性的非参数检验
5.3实证分析——上证指数时变性的检验
附录
参考文献
第6章多维扩散模型非参数统计分析
6.1漂移向量与扩散矩阵的非参数估计模型
6.1.1扩散矩阵的非参数估计模型
6.1.2漂移向量的非参数估计模型
6.2漂移向量与扩散矩阵的核估计及其修正
6.3多维扩散模型的检验
6.4基于模型统计推断的动态金融风险度量
6.4.1动态金融风险度量
6.4.2动态金融风险度量值的估计
摘要与插图
第 1章绪论在金融投资决策中 ,投资的期望收益和证券价格波动规律的研究是倍受关注的.投资收益及风险与基础资产价格、证券条款及投资组合策略有直接关系 .正确描述基础资产价格的波动规律 ,找出在资产价格与基本经济变量如状态变量、结构参数、风险价值之间的函数关系 ,对于投资目标设计与管理、项目风险的评估、衍生证券的定价等金融投资决策问题的解决起着决定的作用 .本章将通过几个实际问题说明连续时间金融模型的统计分析在金融中的应用.
1.1投资目标设计与管理
投资组合管理是投资界一个永不过时的话题． 1952年,美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者哈里 ?马可维茨 (Markowitz Harry)[1]第一次提出了优化一个组合中个人投资的资产来实现较大的组合收益．在此基础上 ,衍生出许多基于投资组合价值的问题.投资目标设计与管理问题就是一例[2].
为简明扼要 ,假定市场中仅有一种股票和一种债券 .债券是无风险的 ,它的价格 St(0) 随时间 t以指数的形式增长：
(0) (0) (0)
dS= Srtdt, S=1, (1.1.1)
(t)(t) (0)
其中 rt是债券的利率 .为简单起见 ,这里取 rt = r为常数 .股票是有风险的 ,它的价格 St按如下几何 Brown运动变化：
dSt = St(σdBt + μdt),S0已知, (1.1.2)
式中 μ, σ为常数, Bt为 Brown运动.
今设一个自融资金且无消费的投资者 ,他在时间 [0,T ]的策略是： t时刻将他的财产 Yt元中 Zt元买股票 , Yt . Zt元买债券 .则容易推出他的财产 Yt满足下列倒向随机微分方程：
dYt = f (Yt,Zt) dt . ZtdBt,t ∈ [0,T ] , (1.1.3)
其中
f (y, z)= ry +(μ . r) z +(R . r)(y . z) , (1.1.4)
而 R是市场的贷款利率,它一般比 r大. 股票, Yt . Zt元来买债券.
1.2动态金融风险度量
值,代理人用足够大的初始资本 x在市场中交易 ,时刻 t投资在股票上的数量 πt,
(1.1.3),利用方程 我们可以方便地根据倒向随机微分方程的理论和计算方法为投资者进行投资目标设计与管理 例如 若他计划在将来 时刻使自己的资产达T.,(1.1.3)到元则可以建立满足方程 和终端条件 的倒向随机微分方程 获ξYξ=,,T ().0得唯一解 其具体含义是：投资者若要在 时刻达到目标 则必须在 时Y,ZTξ,tt[0]刻投入 元并且他在 的投资策略也随之确定了：在 时刻需用 元来买Y,T Zt,0t(1.1.2)(1.1.4)应该注意到 上述问题解决的前提是 与式中的参数 的r,R,μ,σ,()值已知 而这些参数是需要根据无风险资产 以及风险资产 的市场价格来PSt,0 t估计的 换言之 投资目标设计与管理问题的解决需建立在关于风险资产市场价格.,Brown的连续时间模型统计推断的基础之上 另一方面 关于股票价格的几何 运.,动假设在很多情形下也与实际脱节 且在实际中 风险资产有可能是多维的 需要,,,用更一般的模型 如一维或多维扩散模型、时变扩散模型、随机波动率模型等描述,36它们的演化规律所有这些模型的统计推断问题将在本书第章具体讨论～.. 在开放的金融市场环境下 金融风险的度量与防范已成为金融工作者最关心的,问题之一 在完备的金融市场中 任何负债 在一有限时间段内都能够得到完全保C.,π,x 使他的财富在终端时刻无风险地为负债保值即XTC=t ,t. (1.2.1)XC as.. (0) (1.1.1),考虑一个含有债券和 支股票的金融市场 债券价格 满足方程 股dS,t(1)(d)[3]=(),票价格为满足如下随机微分方程SS,S：???,ttt 兰
其中 Bt =(Bt (1) , ??? ,Bt (d))'是 d维标准 Brown运动.
在上述市场模型下 ,代理人从初始资产 x开始投资 ,在每个时刻 t ∈ [0,T ],选择投资组合策略 πt =(πt (1) , ??? ,πt (d)),即投资于第 i种股票的股数为 πt (i) ,并将剩余资产投资于货币市场,则投资组合价值 Xtx,π 满足：
根据无套利定价理论 ,使 (1.2.1)式成立的最少的初始资金为负债 C的贴现在风险中性测度下的期望：
上式表明 ,若取初始资本 x = C (0),并在市场上采用最优的投资组合策略进行投资,则组合资产在 T时刻的价值恰好等于负债 C.
现假定代理人不能 (或不愿 )在初始时刻就拿出资金 C (0)为负债 C完全保值,比如拿出 x使 0 : x
需要注意到 ,上述问题解决的前提是模型 (1.1.1), (1.2.2)中无风险利率 r、漂移率向量 b (?)、波动率矩阵 σ (?)已知 .这就需要根据债券与股票价格的历史数据对它们进行估计.我们将在第 5章讨论这个问题.
1.3期权定价问题
期权是一种选择权 ,投资者在支付了一定金额的权力金 (期权价格 )之后 ,就拥有在预先规定的时间 (到期日 )之前按预先规定价格 (敲定价 )购买或出售一定数量基础资产的权利 .期权定价的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况 ,是期权交易的核心问题 .期权的定价决策包括两个方面 ,一是正确地描述基础资产的价格运动规律 ,二是根据给定的基础资产的价格运动规律 ,针对期权的种类进行定价 ,即确定期权在任意时刻 t的价值.
关于基础资产价格运动规律的描述 ,一般分离散与连续两类模型 .由于连续时间模型便于分析上的处理 ,在许多情形下 ,这类模型常能导出解析解或通过偏微分方程解得 ,故在研究中经常采用 .例如 ,假定基础资产价格服从风险中性测度下的广义几何 Brown运动：
dSt = St(σtdWt + rtdt),S0 = s0, (1.3.1)
其中 , Wt为风险中性测度下的标准 Brown运动 , rt为无风险利率过程 , σt为波动
率过程 ,它可以是常数、时间 t的函数 ,或者是股票价格 St的函数 ,甚至是随机
过程.
在模型 (1.3.1)下,考虑支付函数为 h(x),到期日为 T的欧式期权 .设 t时刻基础股票的价格为 x,则期权在 t时刻的价值 v(t, x)满足终值条件为 v(T,x)= h(x)的广义 Black-Scholes方程：
通过解偏微分方程 (1.3.2),就可以在任何时刻 t给出期权的风险中性价格 .易见,解决期权定价问题的前提是无风险利率和波动率已知 .这仍然需要根据股票市场价格或期权市场价格的历史数据对它们进行统计推断.
从以上分析可见 ,正确地描述基础资产价格的波动规律是解决各类金融问题的前提 .在许多文献中 ,经常假定基础资产价格服从漂移率与波动率都是常数的几何 Brown运动 ,这往往能使所研究的问题有显式解 ,但人们很快就发现 ,这种假设在很多情况下并不能与实际市场很好地吻合 ,例如 ,一系列关于股票波动的实证分析表明波动率参数不是常数 [4.6].为此 ,有许多研究者根据实际市场提出了各种改进方案,得到了一些在某方面更加符合实际市场状况的修正模型 .例如, Cox和 Ross[7], Geske[8]用具有价格依赖型波动率的扩散过程描述股票价格 .也有人提出经济条件随时变动 ,因此有必要设想资产的瞬时期望收益以及瞬时波动率既依赖于时间 ,也与指定的状态变量如股票或债券的价格水平有关 ,这意味着基础状态变量应该是一个时变的扩散过程 .文献中提出了各种各样描述时变情形的模型 ,假设了各种表明时间相依性的参数 [9.11],均假设存在某种时变函数作为模型的参数 .此外 , Johnson和 Shanno[12], Hull和 White[13,14]等认为 ,波动率不仅受基础股票现价的影响 ,还会受到市场中其他因素的影响 ,因而将之看作一个随机过程 ,提出了随机波动率模型.
尽管有许多关于金融数据漂移函数与扩散函数形态的研究 ,但没有哪种结论占绝对上风 .这其中的原因之一是 ,文献中提到的所有备选模型都假定漂移与扩散系数的函数表达形式已知 ,仅含有某些未知参数 .尽管关于函数形式的解释在一定角度似乎与市场状况相吻合 ,但可能还有一些未考虑到的因素对数据产生影响 .解决这一问题的方案之一就是考虑适应面更广的非参数模型 .例如 ,将基础资产价格表示为一维扩散过程或者说是如下随机微分方程的解[15.17]：
dSt = μ(St)dt + σ(St)dBt, (1.3.3)
其中 ,函数 μ(?)和 σ2(?)分别是该过程的漂移系数与扩散系数 .我们需要根据特定基础资产的市场数据对扩散系数和漂移系数作出估计 ,并且还需对模型设定的正确性进行检验 .由于我们对扩散系数与漂移系数的函数形式不作特别的限定 ,因而所考虑的问题是非参数的.
有些场合 ,用一维扩散过程描述基础资产价格的演化并不能满足问题的需要 ,例如 ,当考虑投资组合的收益问题、组合衍生证券的定价问题时 ,往往用多维扩散方程描述基础资产价值的演化过程 .当市场具有时间变动特性时 ,需考虑时变扩散过程 .有些基础资产价格与股票价格以外的某些因素有关 ,需要用随机波动率模型描述其演化规律.
本书将结合前面提到的一些金融问题的背景 ,对一维扩散模型、多维扩散模型、时变扩散模型、随机波动率模型的非参数统计推断问题展开系统的研究 ,建立统一的非参数估计与检验问题研究框架 ,给出漂移系数、扩散系数、边缘密度和转移概率密度的估计及检验方法 ,并举例说明这些方法在投资目标设计与管理、动态金融风险度量以及期权定价等问题中的具体应用.
1.4本书概要
本书的主要工作是讨论连续时间模型的非参数统计推断问题 ,但为了让读者掌握必要的非参数统计知识 ,我们在第 2章简单介绍了一些独立同分布场合下常用的非参数估计方法 ,包括核估计法、局部多项式估计、小波估计、多元回归函数非参数估计的降维方案以及基于 Copula函数的非参数密度估计 ,为本书后续章节的讨论提供必要的预备知识 .为了对我们所提出的非参数法的效率进行评估 ,还需了解一些模型的参数推断方法 .我们在第 3章对几个常用连续时间金融模型的参数统计推断问题进行了讨论 ,包括模型的参数估计、样本轨道模拟和模型设定检验三部分 .其中关于 CEV模型的参数估计、各类模型的轨道模拟 ,以及基于广义残差的拟合优度检验法,包括了作者的最新工作[18,19].
第 4～7章是本书的主体 ,讨论各类模型的非参数统计推断问题 .其中大部分内容来源于作者近年来的研究成果 ,许多结果为我们近期所得 .为了知识体系的完整 ,也对散见于大量文章中的一些重要成果进行了综述.
第 4章讨论一维扩散模型的非参数统计推断问题 .尽管已有大量的文献讨论有关一维扩散系数和漂移系数估计问题 [20.23],但文献中对于扩散系数和漂移系数样本的构造原理都没有详尽的阐述 ,只是根据漂移为 μ (?)、扩散为 σ (?)的一维扩散过程 Xt,满足 Ex (Xt . x)= tμ (x)+ o (t), Ex (Xt . x)2 = tσ (x)+ o (t)的性质,将 Xti+1 .Xti (i =1, ??? ,n)近似看作是漂移的样本 ,而将 (tXti+1 . XtiJ2 (i =1, ??? ,n)近似看作是 σ2的样本 .这种近似误差有多大 ,误差的形式是什么 ,没有现成的结论 .搞清这些问题对于进一步建立漂移系数和扩散系数的非参数估计模型、分析估计量的极限性质和收敛速度是很有必要的 .该章首先根据我们的前期研究成果 [
